Course: Análisis matemático I
Derivada de una función
La derivada de una función se refiere a la tasa de cambio instantánea de la función en un punto determinado. La derivada se puede calcular utilizando la definición de recta tangente y el límite.
Definición de recta tangente utilizando límite
La recta tangente a una curva en un punto se define como la recta que toca la curva en ese punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. La pendiente de la recta tangente se puede calcular utilizando el límite de la razón incremental:
donde es la función en el punto y es un pequeño incremento en . La recta tangente se puede escribir en la forma punto-pendiente:
donde es el punto de tangencia.
Definición formal de derivada en un punto
La derivada de una función en un punto se define como el límite de la razón incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero:
Definición de derivadas laterales (junto con el teorema de la existencia de la derivada)
Las derivadas laterales se refieren a la derivada de una función en un punto desde el lado izquierdo y el lado derecho del punto. La derivada lateral izquierda se define como:
y la derivada lateral derecha se define como:
El teorema de la existencia de la derivada establece que si una función es continua en un punto , entonces la derivada en ese punto existe si y solo si las derivadas laterales izquierda y derecha existen y son iguales.
Teorema derivabilidad implica continuidad
El teorema derivabilidad implica continuidad establece que si una función es derivable en un punto , entonces la función es continua en ese punto. Es decir, la derivabilidad implica la continuidad, pero la continuidad no implica la derivabilidad.
Definición formal de función derivada
La función derivada de una función se define como la función que asigna a cada valor de la derivada de en ese punto:
La función derivada se puede interpretar como la tasa de cambio instantánea de la función en cada punto.