Integrales curvilíneas en campos vectoriales

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:14 PM Status: Done Year: 2022

• Cómo se define una integral curvilínea en un campo vectorial?

  Sean $\gamma =f([a,b])$ una curva regular y simple tal que $\gamma \subset D\subset {\mathbb{R}}^n$ y $D$ un abierto conexo y sea $F:D\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ un campo vectorial continuo.

  Si una partícula recorre la curva pasando por cada punto $P$ con velocidad unitaria dada por $\vec{v}(P)$, se define la integral curvilínea del campo vectorial $\vec{F}$ sobre $\gamma$ como sigue:

  $${\int }_{\gamma }[\vec{F}(P)\cdot \vec{v}(P)]ds$$

  Observamos que $\vec{F}(P)\cdot \vec{v}(P)$ es un scalar, por lo tanto la integral anterior queda como integral curvilínea de un campo escalar.

  Observamos que $\forall t\in (a,b)\frac{f^{\prime }(t)}{||f^{\prime }(t)||}$ es un vector unitario tangente a $\gamma$ en el punto $P=f(t)$. Y pueden ocurrir dos situaciones

  $$\vec{v}(f(t))=\frac{f^{\prime }(t)}{||f^{\prime }(t)||}$$ $$\vec{v}(f(t))=-\frac{f^{\prime }(t)}{||f^{\prime }(t)||}$$

  Si ocurre lo primero

  $${\int }_{\gamma }[\vec{F}(P)\cdot \vec{v}(P)]ds={\int }_a^b\left[F(f(t))\frac{f^{\prime }(t)}{||f^{\prime }(t)||}||f^{\prime }(t)||\right]dt={\int }_a^b\left[F(f(t))f^{\prime }(t)\right]dt$$

  Si ocurre lo segundo

  $${\int }_{\gamma }[\vec{F}(P)\cdot \vec{v}(P)]ds={\int }_a^b\left[F(f(t))\frac{-f^{\prime }(t)}{||f^{\prime }(t)||}||f^{\prime }(t)||\right]dt=-{\int }_a^b\left[F(f(t))f^{\prime }(t)\right]dt$$

  Además, si $\gamma$ es regular a trozos, también podemos integrar de la siguiente manera

  

• Cuál es la interpretación física de la integral curvilínea en campo vectorial?

  • Si $\vec{F}$ es un campo de fuerza continuo definido en $\gamma$ curva regular y simple, la ${\int }_{\gamma }\vec{F}\cdot \vec{v}ds$ representa el trabajo realizado por el campo $\vec{F}$ para mover una partícula unida a lo largo de $\gamma$

• Enuncie las propiedades de las integrales curvilíneas en campo vectorial

  1. Linealidad

     Si $\vec{F}$ y $\vec{G}$ son campos vectoriales contínuos definidos en $\gamma$, curva simple, regular o a torozos y $a\in \mathbb{R}$ y $b\in \mathbb{R}$, entonces

     $${\int }_{\gamma }(a\vec{F}+b\vec{G})\cdot \vec{v}ds=a{\int }_{\gamma }\vec{F}\cdot \vec{v}ds+b{\int }_{\gamma }\vec{G}\cdot \vec{v}ds$$

  2. Dependencia de la Orientación del Arco

     Si $\vec{F}$ es un campo vectorial continui definido en $D$ que contiene a $\gamma$ curva simple, regular o regular a trozos, entonces

     $${\int }_{\gamma }\vec{F}\cdot \vec{v}ds=-{\int }_{-\gamma }\vec{F}\cdot \vec{v}ds$$

     

• Enuncie y demuestre el teorema de Gauss-Green

  Sea $R\subset {\mathbb{R}}^2$ una región simple, cerrada y acotada. Sea $\gamma =\partial R$ una curva cerrada, simple, regular o regular a trozos, parametrizada de manera que se recorre una sola vez en sentido antihorario, al que llamamos sentido positivo, y sea

  $$\begin{gathered} F:U\subset {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2 \\ (x,y)\mapsto (F_1(x,y),F_2(x,y)) \end{gathered}$$ un campo vectorial continuamente diferenciable en $U$ abierto que contiene a $R$. Entonces

  $${\iint }_R\left[\frac{\partial F_2(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial F_1(x,y)}{\partial y}\right]dxdy={\oint }_{\gamma }{F}_1(x,y)dx+F_2(x,y)dy$$

  CLASE6-CURVAS- INTEG. CURVILÍNEAS-parte 2-2022.pdf

• Indique cómo se realiza el cálculo del area de una región mediante Gauss-Green

  $$\text{Area de R}={\iint }_{R}1dxdy\Rightarrow 2\text{ Area de R}={\iint }_R(1+1)dxdy$$

  Si $F_1(x,y)=-y$ y $F_2(x,y)=x$

  $${\iint }_R(1+1)dxdy={\oint }_{\partial R}(-ydx+xdy)$$

  Luego

    $$
    \text{Area de R} = \frac{1}{2}\oint_{\partial R}(-ydx+xdy)
    $$