Producto de Matrices

Course: Algebra I

Date: February 12, 2023 5:20 PM Status: Done Year: 2021

• Definición de producto de dos matrices El producto de dos matrices es una operación que se realiza multiplicando cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz y sumando los productos resultantes. Formalmente, si $A$ es una matriz de tamaño $m\times n$ y $B$ es una matriz de tamaño $n\times p$, entonces el producto de $A$ y $B$, denotado por $AB$, es una matriz de tamaño $m\times p$ cuyos elementos se calculan como sigue:$(AB{)}_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$para todo $i=1,2,...,m$ y todo $j=1,2,...,p$. Es decir, el elemento $(i,j)$ de la matriz $AB$ es el resultado de multiplicar la fila $i$ de la matriz $A$ por la columna $j$ de la matriz $B$ y sumar los productos resultantes.

• Propiedades del producto de matrices

  • Asociatividad: El producto de matrices es asociativo, es decir, $(AB)C=A(BC)$ para cualquier terna de matrices $A$, $B$ y $C$ que tengan tamaños compatibles para el producto.
  • Distributividad del producto de matrices respecto a la suma de matrices: El producto de una matriz por la suma de dos matrices es igual a la suma de los productos de la matriz por cada una de las matrices sumadas. Formalmente, si $A$, $B$ y $C$ son matrices que tienen tamaños compatibles para el producto y la suma, entonces se cumple que $A(B+C)=AB+AC$.
  • Distributividad del producto de matrices respecto al producto por un escalar: El producto de una matriz por un escalar es distributivo respecto al producto de matrices. Formalmente, si $A$ y $B$ son matrices que tienen tamaños compatibles para el producto y $\alpha$ es un escalar, entonces se cumple que $\alpha (AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$.
  • Existencia de elemento neutro: No existe una matriz que actúe como elemento neutro para el producto de matrices. Es decir, no existe una matriz $O$ tal que $AO=OA=A$ para cualquier matriz $A$ que tenga tamaños compatibles para el producto.
  • No conmutatividad: El producto de matrices no es conmutativo, es decir, en general $AB\ne BA$ para cualquier par de matrices $A$ y $B$ que tengan tamaños compatibles para el producto.

• Propiedades del producto y la transpuesta

• Definición de potencia de matrices La potencia de una matriz es una operación que se realiza elevando una matriz a un exponente entero no negativo. Formalmente, si $A$ es una matriz cuadrada de tamaño $n\times n$ y $k$ es un entero no negativo, entonces la potencia $k$ de $A$, denotada por $A^k$, es una matriz de tamaño $n\times n$ cuyos elementos se calculan como sigue:

$A^k=\underset{k\text{ veces}}{\underbrace{A\cdot A\cdot A\cdot \cdots \cdot A}}$