Espacios vectoriales reales

Course: Algebra I

Date: February 12, 2023 5:24 PM Status: Done Year: 2021

Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto de elementos llamados vectores, que pueden ser sumados y multiplicados por escalares, y que cumplen ciertas propiedades. Formalmente, un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ es un conjunto no vacío de elementos llamados vectores, junto con dos operaciones binarias definidas en $V$:

1. Suma de vectores: Para cualquier par de vectores $u,v\in V$, la suma $u+v$ es un vector en $V$.
2. Multiplicación por escalares: Para cualquier escalar $\alpha \in F$ y cualquier vector $u\in V$, el producto $\alpha u$ es un vector en $V$.

Estas operaciones deben cumplir las siguientes propiedades para todo $u,v,w\in V$ y todo $\alpha ,\beta \in F$:

1. Asociatividad de la suma: $(u+v)+w=u+(v+w)$.
2. Conmutatividad de la suma: $u+v=v+u$.
3. Existencia de un elemento neutro de la suma: Existe un vector $0\in V$ tal que $u+0=u$ para todo $u\in V$.
4. Existencia de un elemento opuesto de la suma: Para cada $u\in V$, existe un vector $-u\in V$ tal que $u+(-u)=0$.
5. Distributividad de la multiplicación por escalares respecto a la suma de vectores: $\alpha (u+v)=\alpha u+\alpha v$.
6. Distributividad de la multiplicación por escalares respecto a la suma de escalares: $(\alpha +\beta )u=\alpha u+\beta u$.
7. Asociatividad de la multiplicación por escalares: $\alpha (\beta u)=(\alpha \beta )u$.
8. Existencia de un elemento neutro de la multiplicación por escalares: Existe un escalar $1\in F$ tal que $1u=u$ para todo $u\in V$.

Teorema: Propiedades del producto por escalar

Aquí te presento las propiedades del producto por escalar en un espacio vectorial:

• Distributividad del producto por escalar respecto a la suma de vectores: Para cualquier escalar $\alpha$ y cualquier par de vectores $u,v$ en un espacio vectorial $V$, se cumple que $\alpha (u+v)=\alpha u+\alpha v$.
• Distributividad del producto por escalar respecto a la suma de escalares: Para cualquier par de escalares $\alpha ,\beta$ y cualquier vector $u$ en un espacio vectorial $V$, se cumple que $(\alpha +\beta )u=\alpha u+\beta u$.
• Asociatividad del producto por escalar: Para cualquier par de escalares $\alpha ,\beta$ y cualquier vector $u$ en un espacio vectorial $V$, se cumple que $(\alpha \beta )u=\alpha (\beta u)$.
• Producto por escalar del elemento neutro: Para cualquier vector $u$ en un espacio vectorial $V$, se cumple que $1u=u$, donde $1$ es el elemento neutro del producto por escalar.
• Producto por escalar del elemento nulo: Para cualquier escalar $0$ y cualquier vector $u$ en un espacio vectorial $V$, se cumple que $0u=0$, donde $0$ es el elemento nulo del producto por escalar.

Definición de subespacios vectoriales

Un subespacio vectorial es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial $V$ que es cerrado bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares. Formalmente, un subconjunto $W$ de un espacio vectorial $V$ es un subespacio vectorial si se cumplen las siguientes condiciones:

1. El vector cero de $V$ está en $W$.
2. Para cualquier par de vectores $u,v$ en $W$, la suma $u+v$ está en $W$.
3. Para cualquier escalar $\alpha$ y cualquier vector $u$ en $W$, el producto $\alpha u$ está en $W$.

Estas condiciones aseguran que $W$ es un espacio vectorial en sí mismo, y que hereda las propiedades y estructura del espacio vectorial $V$. Por ejemplo, si $V$ es un espacio vectorial de dimensión $n$, entonces cualquier subespacio vectorial de $V$ tiene dimensión menor o igual a $n$. Los subespacios vectoriales son importantes en el estudio de los espacios vectoriales porque permiten analizar y clasificar las propiedades de los vectores en un espacio vectorial de manera más estructurada y organizada.

Teorema condición Necesaria y Suficiente para Subespacios

La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto $W$ de un espacio vectorial $V$ sea un subespacio vectorial es que $W$ sea cerrado bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares. Es decir, $W$ es un subespacio vectorial de $V$ si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. El vector cero de $V$ está en $W$.
2. Para cualquier par de vectores $u,v$ en $W$, la suma $u+v$ está en $W$.
3. Para cualquier escalar $\alpha$ y cualquier vector $u$ en $W$, el producto $\alpha u$ está en $W$.

Definición de intersección de subespacios

La intersección de subespacios es un concepto en álgebra lineal que se refiere al conjunto de vectores que pertenecen a dos o más subespacios vectoriales de un espacio vectorial común. Formalmente, si $W_1,W_2,...,W_k$ son subespacios vectoriales de un espacio vectorial $V$, entonces la intersección de $W_1,W_2,...,W_k$ se define como el conjunto de vectores que pertenecen a todos los subespacios $W_1,W_2,...,W_k$:

$W_1\cap W_2\cap ...\cap W_k=\{v\in V:v\in W_1,v\in W_2,...,v\in W_k\}$

La intersección de subespacios es un subespacio vectorial de $V$ porque cumple las tres condiciones de la definición de subespacio vectorial: contiene el vector cero de $V$, es cerrado bajo la suma de vectores y es cerrado bajo la multiplicación por escalares. La intersección de subespacios es útil en el estudio de los espacios vectoriales porque permite analizar y clasificar los vectores que pertenecen a dos o más subespacios vectoriales de manera más estructurada y organizada.