Operaciones entre Lenguajes

Definición de unión de lenguajes

La unión de dos lenguajes $L_{1}$ y $L_{2}$ da como resultado otro lenguaje que contiene todas las palabras de $L_{1}$ y todas las palabras de $L_{2}$
$L_{1} \cup L_{2} = {x y / x \in L_{1} \overset{o}{ˊ} y \in L_{2}}$
$L_{1} \cup L_{2} = L_{1} + L_{2}$

Sean $L_{1}$ y $L_{2}$ sobre el mismo alfabeto $W (Σ)$ se llama concatenación o producto de dos lenguajes: $L_{1} \cdot L_{2} = {x y / x \in L_{1} \land y \in L_{2}}$
Es el conjunto de palabras formadas por la concatenación de cada palabra
Propiedades
- Operación cerrada
- Propiedad asociativa
- Con elemento neutro
- Distributiva respecto a la unión

Esta vinculada con la propiedad asociativa, y el elemento neutro
La concatenación (monoide) de lenguajes y la unión (monoide) de lenguajes constituyen un binoide
- Concatenación y unión
Los símbolos de $Σ$ se pueden considerar conjuntos de una sola palabra
Con la unión y concatenación, se puede formar cualquier lenguaje del alfabeto.
Con el alfabeto $Σ$ es un conjunto de generadores para el conjunto
- L es el BINOIDE LIBRE (operaciónes U y *) generado por $Σ$
Es una operación conceptual, no hay ejemplos en el curso

Es la reducción de la concatenación a los casos que se refueren a un mismo lenguaje $L^{i} = L \cdot L \cdot L \cdot L \cdot; i veces$
Es el resultado de concatenar dicho lenguaje consigo mismo i-veces.

Se representa como $L^{+}$ y es el lenguaje obtenido uniendo el lenguaje L con todas sus potencias posibles excepto 0 $Σ^{+} = ⋃_{i = 1}^{\infty} Σ^{i} = W (Σ) - {λ}$
Resultado de unir todas las potencias de dicho lenguaje, excepto la potencia 0 $L^{+} = L_{1} \cup L_{2} \cup L_{3} \cup \dots$

Se representa como $L^{*}$ y es el lenguaje obtenido uniendo el lenguaje $L$ con todas sus potencias posibles $Σ^{**} = ⋃_{i = 0}^{\infty} L^{i}$
Como L es el lenguaje sobre $Σ$ , se le pued aplicar * $Σ^{*} = W (Σ)$
El lenguaje universal es $Σ^{*}$

Se llama lenguaje reflejo o inverso de L se representa por $L^{- 1}$ $L^{- 1} = {x^{- 1} ∣ x \in L}$
- Es el lenguaje formado por todas las palabras reflejas de L