Integrales triples en coordenadas esféricas

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:11 PM Status: Done Year: 2022

• Cómo se definen las coordenadas esféricas?

  Si llamamos $\rho$ a la norma del vector de $P$; $\phi$ al ángulo diedro que el semiplano $\overrightarrow{OP}$ y $\overrightarrow{OZ}$ forma con el semiplano $y=0$ que contiene al semieje positivo de $\overrightarrow{OX}$; y $\theta$ el ángulo forma con la dirección positiva de $\overrightarrow{OZ}$

  $$\begin{gathered} 0\le \rho \le \infty \\ 0\le \phi \le 2\pi \\ 0\le \theta \le \pi \end{gathered}$$

  

  

• Cómo se define la función aplicación de coordenadas esféricas?

  $$\begin{gathered} g:[0,\infty )\times [0,2\pi ]\times [0,\pi ]\subset {\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3 \\ (\rho ,\phi ,\theta )\mapsto (\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta ) \end{gathered}$$

  

  $$\begin{gathered} J(r,\phi ,z)={\left|\begin{array}{ccc}{x}_r& x_{\phi }& x_z\\ y_r& y_{\phi }& y_z\\ z_r& z_{\phi }& z_Z\end{array}\right|}_P= \\ \left|\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & -\rho \sin \theta \sin \phi & \rho \cos \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi & \rho \sin \theta \cos \phi & \rho \cos \theta \sin \phi \\ \cos \theta & 0& -\rho \sin \theta \end{array}\right|={\rho }^2\sin \theta \end{gathered}$$

  Luego, $J={\rho }^2\sin \theta$ pues para la transformación $J\ge 0$ entonces podemos plantear las siguientes integrales en coordenadas cilíndricas

  $${\iiint }_{D=g(D^{\prime })}f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{D^{\prime }}f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta ){\rho }^2\sin \theta d\rho d\phi d\theta$$