Gráfica de funciones de 2 variables

Análisis matemático II

Gráfica de funciones de dos variables

La gráfica de $z=f(x,y)$ es el conjunto de todos los $(x,y,z)$ en el espacio tales que $z=f(x,y)$ pertenece al dominio de $z$. Esta gráfica es una superficie en ${\mathbb{R}}^3$.

Recta en ${\mathbb{R}}^3$

Para determinar la ecuación de la recta utilizamos un vector $\vec{v}=(a,b,c)$ que dará la dirección de la recta $L$, y un punto de paso $P(x_1,y_1,z_1)$. Es decir, todos los $Q(x,y,z)$ tales que $\overrightarrow{PQ}$ es paralelo a $\vec{v}$.

$$\overrightarrow{PQ}||\vec{v}\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=t\vec{v}\Rightarrow (x-x_1,y-y_1,z-z_1)=(ta,tb,tc)$$

Por lo tanto:

$$L=\{\begin{array}{c}x-x_1=ta\\ y-y_1=tb\\ z-z_1=tc\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=ta+x_1\\ y=tb+y_1\\ z=tc+z_1\end{array}\Rightarrow \frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$$

Si $a\ne 0$,$b\ne 0$,$c\ne 0$.

Planos en ${\mathbb{R}}^3$

Un plano en ${\mathbb{R}}^3$ está caracterizado por un vector normal $N=(a,b,c)$ y un punto de paso $P_0$. Todo $Q$ que pertenece al plano cumple que:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{P_{0}Q}\perp N\Rightarrow \overrightarrow{P_{0}Q}\cdot N=0 \\ (x-x_1,y-y_1,z-z_1)\cdot (a,b,c)=0 \\ a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0 \end{gathered}$$

Ecuación general del plano:

$$ax+by+cz+d=0$$

Trazas

Las trazas son las curvas que surgen de la intersección de una superficie con los planos coordenados. Por ejemplo, sea la superficie $x-y+2=0$:

$$\begin{gathered} x-y+z=2 \\ \frac{x}{2}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{2}=1 \end{gathered}$$

Fácilmente determinamos sus puntos característicos: $(2,0,0)$;$(0,-2,0)$;$(0,0,2)$.

Trazas de la superficie $x-y+2=0$

Ángulo entre planos

$$\cos (\alpha )=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}$$

Recursos adicionales

• Definición y gráficas de funciones de dos variables
• Funciones de varias variables y espacio tridimensional
• Notas para el curso de graficación por computadora