Series alternadas

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:18 PM Status: Done Year: 2022

• Qué son las series alternadas?

  Se llama serie alternada a las series que poseen alternamente términos positivos y negativos, es decir

  $$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$$ $$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n$$

• Cuál es el cr iterio de convergencia para series alternadas?

  Sea a_n>0\ . Las series alternadas ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$ y ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n$ converge si se cumplen:

  1. ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$=0
  2. $a_{n+1}\le a_n$, para todo n.

• En qué consiste la convergencia absoluta y condicional?

  Existen dos tipos de convergencia

  1. La serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ es absolutamente convergente si la serie de los valores absolutos ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ es convergente
  2. La serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ es condicionalmente convergente si la serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ es convergente y la serie de valores absolutos ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ es divergente
     • La serie converge, y la del valor absoluto diverge.
  • La convergencia absoluta es mucho mas fuerte que la condicionalmente

• Teorema de convergencia absoluta

  Si una serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ es absolutamente convergente, entonces es convergente.

• Explique el criterio del cociente

  • Solo utilizo mi serie, no la comparo con ninguna otra.

  Sea ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ una serie con todos sus términos no nulos, entonces

  1. ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ es absolutamente convergente si

     $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$$

  2. ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ es divergente si

     $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\text{oˊ}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty$$

  3. Si ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$ el criterio no decide

• Explique el criterio de la Raíz o de Cauchy

  • Solo utilizo mi serie, no la comparo con ninguna otra.
  • Calculo el límite de la raiz n-ésima del valor absoluto.

  Sea ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ una serie con todos sus términos no nulos, entonces

  1. ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ es absolutamente convergente si

     $$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sqrt{|a_n|}<1$$

  2. ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ es divergente si

     $$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sqrt{|a_n|}>1\text{oˊ}\underset{n\to \infty }{\lim }n\sqrt{|a_n|}=\infty$$

  3. Si ${\lim }_{n\to \infty }n\sqrt{|a_n|}=1$ el criterio no decide