Funciones de una variable

Course: Análisis matemático I

Funciones

Date: February 12, 2023 4:45 PM Status: Done Year: 2021

Funciones de una variable

Funciones pares e impares

Una función es par si $f(-x)=f(x)$ para todo $x$ en el dominio de $f$. La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje $y$. Por otro lado, una función es impar si $f(-x)=-f(x)$ para todo $x$ en el dominio de $f$. La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

Desplazamiento de funciones

El desplazamiento de una función se refiere a mover la gráfica de la función hacia la izquierda o hacia la derecha, o hacia arriba o hacia abajo. Si se tiene una función $f(x)$, entonces la función $f(x-a)$ representa una traslación hacia la derecha de $a$ unidades, mientras que la función $f(x+a)$ representa una traslación hacia la izquierda de $a$ unidades. De manera similar, la función $f(x)+b$ representa una traslación hacia arriba de $b$ unidades, mientras que la función $f(x)-b$ representa una traslación hacia abajo de $b$ unidades.

Operaciones

Las operaciones que se pueden realizar con funciones son la suma, la diferencia, el producto y el cociente. Si se tienen dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, entonces:

• La suma de las funciones es $f(x)+g(x)$.
• La diferencia de las funciones es $f(x)-g(x)$.
• El producto de las funciones es $f(x)\cdot g(x)$.
• El cociente de las funciones es $\frac{f(x)}{g(x)}$.

Función compuesta

La función compuesta es una operación que se realiza cuando se tiene una función $f(x)$ y se sustituye $x$ por otra función $g(x)$. La función resultante se escribe como $f(g(x))$. Por ejemplo, si se tiene $f(x)=x^2$ y $g(x)=x+1$, entonces $f(g(x))=(x+1{)}^2$.

Función inversa

La función inversa es una operación que se realiza cuando se tiene una función $f(x)$ y se intercambian las variables $x$ e $y$. La función resultante se escribe como $f^{-1}(x)$. Para que una función tenga una función inversa, debe ser una función uno a uno. Es decir, cada valor de $x$ debe tener un único valor de $y$.

Función inyectiva

Una función es inyectiva si cada elemento del rango de la función está asociado con un único elemento del dominio de la función. Es decir, dos elementos diferentes del dominio no pueden tener la misma imagen en el rango.

Función valor absoluto

La función valor absoluto se define como $|x|=\{\begin{array}{ll}x,& \text{si }x\ge 0\\ -x,& \text{si }x<0\end{array}$. La gráfica de la función valor absoluto es una “V” invertida, con vértice en el origen.