Determinantes

Course: Algebra I

La definición del determinante de una matriz 2x2 es la siguiente:

Dada una matriz 2x2 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, el determinante de $A$ se define como:

$det(A)=ad-bc$

Es decir, el determinante de una matriz 2x2 se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal principal y restando el producto de los elementos de la diagonal secundaria. El determinante de una matriz 2x2 es un número escalar que puede ser positivo, negativo o cero.

El determinante de una matriz 2x2 tiene varias aplicaciones en álgebra lineal y otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo, se utiliza para determinar si una matriz 2x2 es invertible o no. Si el determinante de una matriz 2x2 es cero, entonces la matriz no es invertible y se dice que es singular. Si el determinante es distinto de cero, entonces la matriz es invertible y se dice que es no singular. El determinante también se utiliza para calcular la matriz inversa de una matriz no singular.

Definición de menor y cofactor

• Menor: El menor de una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de orden $(n-1)$ obtenida al eliminar una fila y una columna de $A$. El menor se denota por $M_{ij}$, donde $i$ y $j$ son los índices de la fila y la columna eliminadas, respectivamente. Por ejemplo, el menor $M_{ij}$ de una matriz 3x3 $A$ se obtiene eliminando la fila $i$ y la columna $j$ de $A$ y calculando el determinante de la submatriz resultante de orden 2x2.
• Cofactor: El cofactor de una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ es el número $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$, donde $M_{ij}$ es el menor correspondiente a la posición $(i,j)$ de $A$. El cofactor se utiliza para calcular la matriz adjunta y la inversa de una matriz cuadrada no singular. La matriz adjunta de $A$ se define como la matriz transpuesta de los cofactores de $A$, es decir, $adj(A)=(C_{ij}{)}^T$. La inversa de $A$ se obtiene dividiendo la matriz adjunta de $A$ por el determinante de $A$, es decir, $A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)$.

Desarrollo de Laplace para determinante

El desarrollo de Laplace para el cálculo del determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:

$det(A)={\sum }_{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}{M}_{ij}$

donde $a_{ij}$ es el elemento de la matriz $A$ en la fila $i$ y la columna $j$, $M_{ij}$ es el menor correspondiente al elemento $a_{ij}$ y $(-1{)}^{i+j}$ es el signo del cofactor $C_{ij}$. Este método se basa en la expansión del determinante a lo largo de una fila o columna de la matriz, utilizando los menores y cofactores de los elementos de esa fila o columna.

Determinante de una matriz triangular

El teorema del cálculo del determinante de una matriz triangular establece que el determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. En otras palabras, si $A$ es una matriz triangular, entonces:

$det(A)={\prod }_{i=1}^n{a}_{ii}$

donde $a_{ii}$ es el elemento de la diagonal principal de $A$ en la posición $(i,i)$ y $n$ es el orden de la matriz.

• Propiedades del Determinante y las operaciones elementales de filas

• Condiciones que generan determinantes cero

  • Si $A\in R^{n\times n}$ y una de las siguientes afirmaciones es ciertas, entonces $\det (A)=0$
    • Si una fila o columna consta completamente de ceros
    • Dos o más filas o columnas son iguales
    • Una o más filas o columnas es múltiplo de otra fila o column

• Propiedades de los determinantes

  • $\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$
  • $\det (cA)=c^n\det (A)$ siendo n el orden de la matriz
  • $\det (A^T)=\det (A)$

Definición de matriz adjunta de A

La matriz adjunta de una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ se denota por $adj(A)$ y se define como la matriz transpuesta de los cofactores de $A$. Es decir, si $C_{ij}$ es el cofactor correspondiente al elemento $a_{ij}$ de $A$, entonces la matriz adjunta de $A$ se define como:

$adj(A)={\left(\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{21}& \cdots & C_{n1}\\ C_{12}& C_{22}& \cdots & C_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{1n}& C_{2n}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right)}^T$

Es decir, la matriz adjunta de $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$ cuyos elementos son los cofactores de $A$ transpuestos. La matriz adjunta de $A$ se utiliza para calcular la inversa de $A$ mediante la fórmula:

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)$

donde $det(A)$ es el determinante de $A$. La matriz adjunta de $A$ es útil para calcular la inversa de $A$ porque contiene información sobre los cofactores de $A$, que a su vez están relacionados con los menores de $A$ y el determinante de $A$.

• Propiedades de la matriz adjunta

• Teorema Condición Necesaria y Suficiente para la inversa de una matriz

• Teorema: Sistemas Cramerianos

• Teorema: 2do Teorema de equivalencias